基于剪切弹簧非线性模型的振动弛张筛动力学分析

　　由式(4)～(7)和(10)可知，在该剪切弹簧非线性模型中，影响其动态特性的相关参数为:Ke，Ffmax,a2，α和b。其中Ke，Ffmax和a2可通过准静态(激振频率0.01 Hz)实验得到的迟滞环曲线所示，之后将不同振幅条件下的Ke，Ffmax 和a2数据拟合即可得到模型参数与振幅的关系表达式:Ke=Ke(x0)，Ffmax=Ffmax(x0)和a2=a2(x0)。最后，实验测得不同频率下剪切弹簧的迟滞曲线，应用最小二乘法，可确定模型参数α和b，具体方法可参照文献[17]。表1为所研究的剪切弹簧的力—位移迟滞环曲线测试结果得到的非线性模型参数的相关数值。

　　根据剪切弹簧动态特性实验测试结果可知，在建立剪切弹簧动态模型时，须考虑其动态特性的振幅相关性和频率相关性。本文建立了基于弹性、摩擦和分数导数模型的剪切弹簧非线所示。该模型力和位移的关系包括3个部分:弹性力由非线性弹簧模型表示，描述剪切弹簧的静态非线性特性;摩擦力由优化后的Berg模型来表示，描述剪切弹簧动态特性的振幅相关性;黏性力由分数导数模型来表示，描述剪切弹簧动态特性的频率相关性。因此，剪切弹簧变形产生的总力F为非线性弹性力Fe、摩擦力Ff和黏性力Fv三者的和。

　　针对上述研究的不足，笔者提出一种新的橡胶弹簧模型来描述剪切弹簧的动态特性，该模型不仅包含弹性元件，还包含摩擦元件和黏性元件。弹性元件由非线性弹簧表示，描述剪切弹簧静态非线性弹性;摩擦元件由优化后的Berg摩擦模型表示，表征剪切弹簧动态特性的振幅相关性;黏性元件由分数导数模型表示，描述剪切弹簧动态特性的频率相关性。随后用剪切弹簧动态测试实验结果来验证该模型的准确性，将该非线性剪切弹簧模型嵌入振动弛张筛动力学系统中，利用Newmark算法对该系统的动力学响应进行计算，并分析了新振动弛张筛动力学模型在不同系统参数条件下的动力学响应。

　　剪切弹簧的黏性力由分数导数模型来表示，力Байду номын сангаас位移的关系可表示为

　　式中，b为该黏性力的系数;t为时间;α为分数导数阶数,α∈(0,1);当α=0和α=1时，该模型可分别表示线性弹簧和阻尼器，表明该模型随着α的增加，阻尼力增大。

　　目前，有关橡胶弹簧动态特性的研究最重要的包含两个方面:频率相关性和振幅相关性。在描述橡胶弹簧频率相关性时，最广泛使用的模型为Kevin-Voigt模型[14]，其由线性弹簧和阻尼器并联而成，在研究弛张筛动力学响应时，该模型也被广泛用来描述剪切弹簧的动态特性，但该模型过高的预测高频时阻尼的大小，且不能准确描述弹簧的振幅相关性[15-16];将线性弹簧和阻尼器串联可形成Maxwell模型，其可较好的描述高频时弹簧的动态刚度，但过低的预测高频时弹簧的动态阻尼[17];为越来越好的描述橡胶弹簧动态特性的频率相关性，SJÖBERG，SEDLACZEK和ZHU等采用分数导数模型来描述弹簧的黏性力，并利用实验结果验证了该模型的优越性[18-20]。在描述橡胶弹簧动态特性振幅相关性时，BERG提出了光滑的摩擦模型，与黏滑摩擦模型相比，该模型能更好的吻合橡胶弹簧的迟滞环曲线]，但其过低的预测激振振幅较小时弹簧的动态刚度和阻尼。

　　式中，Δt为时间积分步长;xn为tn=nΔt时弹性元件的变形量;j∈[0,n-1]为第j个时间积分步长;xn-j为tn-j瞬时弹性元件的形变;tn为n个时间步长的时间;τ为积分公式里面的一个变量，范围为(α，t)。

　　为了更直观的比较实验测试和新提出的模型理论计算所得剪切弹簧动态特性的振幅和频率相关性，需将实验测试以及理论计算所得到的迟滞环曲线)转化为动刚度和滞后角。首先取频率为0.01 Hz，消除黏滞力的影响[20,23-24]，振幅区间为2～11 mm，来验证新提出模型中的非线性弹簧力和摩擦力在描述剪切弹簧动态特性振幅相关性时的合理性，结果如图8所示。由图8可得，剪切弹簧在该振幅区间，随着振幅的增加，弹簧动刚度及滞后角均减小。但常用的线性模型(Kevin-Voigt 模型)在描述弹簧动态特性的振幅相关性时，动刚度和滞后角不会随着振幅的变化而变化[24]，显然不能用来准确描述剪切弹簧动态特性的振幅相关性。新提出的模型不但可以描述剪头弹簧的振幅相关性，且弹簧动刚度及滞后角的理论计算值与实验测试值的平均方差分别仅为0.525和0.007，平均误差分别为0.323%和5.58%。与常用的线性模型相比，新提出的模型可更好的描述剪切弹簧动态特性的振幅相关性。

　　式中，和Fmin,i分别为每个迟滞环曲线的最大和最小力;xmax,i和xmin,i分别为最大和最小位移;Ei为迟滞环曲线的面积;n为所取迟滞环的个数。

　　潮湿细粒煤炭的深度干法筛分是当今煤炭行业亟需解决的难题[1-2]。深度筛分时，由于煤炭在开采过程中，煤层中的渗水、防尘的喷水以及黏性矿物的存在，导致颗粒小、比表面积大的煤粒互相黏连而团聚板结，造成筛面堵孔严重的现象，普通振动筛很难完成潮湿细粒煤炭深度筛分的任务，严重制约了煤炭深度加工行业的发展[3-4]。振动弛张筛以其筛面加速度大、筛分效率高、不易堵孔和适用性很强等特点得到了广泛的应用和发展[5-7]。为了达到理想的筛分效果，振动弛张筛的动力学分析受到了学者们的广泛关注。

　　由于剪切弹簧中阻尼的存在，剪切弹簧在简谐力循环往复的作用下力与位移曲线)可知，迟滞环曲线中最大和最小力之间连线的斜率(即迟滞环的整体斜率)可用来表征动刚度，迟滞环曲线面积的大小即为能耗，可反映滞后角的大小。为了研究激振振幅对剪切弹簧动态特性的影响，取激振频率为0.01 Hz，来消除黏性力的影响[20,23-24]，实验测得不同激振振幅条件下剪切弹簧的迟滞环曲线(a)所示，随着振幅的增加，迟滞环整体顺时针转动，使得其整体斜率减小，即剪切弹簧动刚度减小;当激振振幅一定时(6 mm)，实验测得不同激振频率时剪切弹簧的迟滞环曲线(b)所示，随频率的增加，迟滞环整体逆时针转动，使得其整体斜率增大，即剪切弹簧动刚度增大。由于所研究剪切弹簧的阻尼较小，不同条件下，剪切弹簧迟滞曲线面积的变化规律不易直接观察，但可利用式(2)计算剪切弹簧滞后角来分析不同条件下剪切弹簧阻尼的变化规律，详见1.2节。

　　橡胶剪切弹簧(长×宽×高:203 mm×70 mm×48 mm)的动态特性是在Instron E10000型动力学实验平台(精确度±0.5%)上来测试的，如图1所示。该剪切弹簧上部与设备驱动系统连接，下部安装在力传感器(精确度±0.005%)上部。测试过程中，通过Instron测试软件输入正弦激励信号的振幅和频率，测试开始后，系统记录相应的力信号。为了尽可能消除温度因素对弹簧动态特性的影响，每两次测试中间需要间隔几分钟，并利用热像仪(精确度±2%)来保证弹簧每次测量的起始温度恒为23 ℃。此处必须要格外注意的是弹簧在每次测试过程中虽然保证了起始温度条件一致，但由于弹簧内部摩擦力的作用，弹簧在测试的过程中，内部温度会升高，对实验结果会造成微小的影响。

　　分别取激振振幅为3.5，4.0和4.5 mm，频率为1～6 Hz，实测得到剪切弹簧的动态特性与激振振幅和频率的相关性，如图3所示，当激振振幅不变，频率增加时，动刚度增加，滞后角总体呈现增加趋势。当激励频率不变，振幅增加时，动刚度减小，滞后角略微减小。实验根据结果得出:剪切弹簧的动态特性具有振幅相关性和频率相关性。

　　【作 者】宫三朋; 王新文; 于驰; 赵国锋; 林冬冬; 徐宁宁; 朱国辉

　　XIONG和陈志强等学者假设振动弛张筛为线性系统，分析了其动力学响应，解释了弛张筛的振动机理以及合理的工作区域[8-10]，该线性模型虽被普遍的使用，但不能准确描述剪切弹簧的振幅相关性和频率相关性，故在分析振动弛张筛动力学响应时采用该模型存在比较大的误差;翟宏新从双质体非线性角度理论分析了弛张筛的振动机理，指出了剪切弹簧的非线性特性对于系统的动力学响应有着重要影响[11]，但该研究仅为理论假设，剪切弹簧的真实动态特性并未得到合理的解释。作为传递主筛框和浮动筛框(简称主浮筛框)之间振动的重要部件，剪切弹簧的动态特性直接影响着主浮筛框以及弹性筛面的运动，进而影响筛面上物料的运动规律，其对系统的筛分效果具备极其重大的影响[12-13]。但在上述研究中对于振动弛张筛系统中剪切弹簧的模型仅为理论研究，其真实的动态特性并未得到深入研究，以至于振动弛张筛的动力学响应不能被准确的描述。

　　当激振频率为0.01 Hz，激振振幅分别为3 mm和10 mm时，理论计算和实验测试得到的剪切弹簧迟滞环曲线 mm，激振频率分别为1 Hz和6 Hz时，理论计算和实验测试得到的剪切弹簧迟滞环曲线可知，非线性模型理论计算与实验测试所得的迟滞环曲线在不同振幅及频率下均吻合良好，表明该非线性弹簧模型能够较好的描述剪切弹簧的动态特性。

　　经典的Berg摩擦模型过低的预测激振振幅较小时橡胶弹簧动态特性，此处通过优化Berg摩擦模型来描述剪切弹簧动态特性的振幅相关性，摩擦力可表示为

　　其中，xs和Ffs分别为位移和力的参考点，该参考点可计算当前时刻的摩擦力，计算过程中，由于摩擦力的方向不断发生明显的变化，因此就需要不断实时更新参考点，瞬时摩擦因数ε=Ffs/Ffmax，最大摩擦力Ffmax=Ffmax(x0)和摩擦力方向变化产生的过度位移a2=a2(x0)都为有关激振振幅x0的函数。

　　当剪切弹簧变形量增加时，弹性力Fe呈现出非线性，其与激振位移x=x0sin(ωt)的关系可表示为

　　式中，ω和t分别为激振角速度和时间;弹性刚度Ke=Ke(x0)为有关激振振幅x0的函数。